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experiment3/main.typ

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+
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+
+#let report-table(..args) = table(
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+  ..args,
+)
+
+#align(center)[
+  #text(size: 20pt, weight: "bold")[实验报告一：一阶 RC 电路充放电过程的观察]
+]
+
+= 1. 实验原理
+
+一阶 RC 电路，在电容没有初始储能的条件下，由外加激励所引起的响应就是电路的零状态响应。此时电容两端电压的变化规律为
+
+$
+u_C(t)=U_s (1-e^(-t/tau)),quad t >= 0
+$
+
+其中 $tau=R C$ 为一阶 RC 电路的时间常数。零状态响应实际上就是电容的充电过程，当 $t=tau$ 时，$u_C(t)=0.632U_s$。
+
+在没有外加激励时，由动态元件的初始储能所引起的响应就是一阶电路的零输入响应。零输入响应时，电容两端电压的变化规律为
+
+$
+u_C(t)=U_s e^(-t/tau),quad t >= 0
+$
+
+当 $t=tau$ 时，$u_C(t)=0.368U_s$。时间常数 $tau$ 是衡量一阶电路特性的一个重要参数，可以通过示波器直接进行测量，即找出 $0.632U_s$ 和 $0.368U_s$，对应的时间轴坐标就是时间常数 $tau$。
+
+在动态电路的过渡过程中，用普通示波器观察过渡过程和测量有关参数，必须使这种单次变化的过程重复出现。因此，在观察一阶电路的过渡过程时，总是利用方波输出作为零状态响应的正阶跃激励信号，利用方波输出作为零输入响应的负阶跃激励信号。只要选择方波的周期远大于电路的时间常数，那么这样反复的阶跃信号激励下，它的响应就和直流电接通与断开的过渡过程基本相同。
+
+= 2. 实验方案与具体步骤
+
+实验采用信号源输出方波作为激励信号，通过示波器同时观察输入方波信号与电容两端电压信号，分析一阶 RC 电路的充电与放电过程，并测量时间常数 $tau$。
+
+具体步骤如下：
+
++ 按实验电路图连接一阶 RC 电路，取 $R = 10 "kΩ"$，$C = 0.01 "μF"$。
++ 将信号源设置为方波输出，幅值约为 $U_(p-p) = 2 "V"$，频率为 $f = 1 "kHz"$。
++ 将示波器 CH1 接输入信号 $u_i$，CH2 接电容两端电压 $u_C$。
++ 调节示波器时基和幅值档位，使输入方波和电容电压波形稳定显示。
++ 观察电容充电过程中的零状态响应曲线，并测量 $u_C=0.632U_s$ 对应的时间。
++ 观察电容放电过程中的零输入响应曲线，并测量 $u_C=0.368U_s$ 对应的时间。
++ 将理论时间常数与实测时间常数进行比较，计算相对误差。
+
+= 3. 实验电路连接与实测数据
+
+== 3.1 实验电路连接
+
+实验电路由信号源、电阻 $R$、电容 $C$ 和示波器组成。输入端接方波信号 $u_i$，输出端取电容两端 电压 $u_C$。示波器 CH1 观察输入方波，CH2 观察电容电压。
+#v(.5em)
+#fig-image(
+  "image/581da739f44c3ba158e78250bb1de788.jpg",
+  height: 7cm,
+  caption: [一阶 RC 充放电实验装置],
+)
+
+== 3.2 实验参数与实测数据
+
+#v(.6em)
+
+#report-table(
+  columns: (1fr, 1fr, 1fr, 1fr),
+  table.header([测量项目], [理论判据], [实测时间], [相对误差]),
+  [零状态响应], [$u_C = 0.632 U_s$], [$96 "μs"$], [$4%$],
+  [零输入响应], [$u_C = 0.368 U_s$], [$96 "μs"$], [$4%$],
+)
+
+#v(.5em)
+
+#fig-image(
+  "image/a16d35732bc3dd501151661168f397af.jpg",
+  height: 7cm,
+  caption: [示波器测得的一阶 RC 电路充放电波形],
+)
+
+= 4. 实验数据与结果
+
+理论时间常数为
+
+$
+tau = R C = 10 "kΩ" times 0.01 "μF" = 100 "μs"
+$
+
+理论上，零状态响应在 $t = tau$ 时满足 $u_C = 0.632 U_s$，零输入响应在 $t = tau$ 时满足 $u_C = 0.368 U_s$，对应曲线如图所示。
+
+#fig-two-images(
+  "image/1e87032c-d14a-4581-a2c7-cb159c164570.png",
+  "image/dae073f3-6846-4e8f-8cfe-7ae58b01f88f.png",
+  height: 5.7cm,
+  caption: [零状态响应与零输入响应曲线],
+)
+
+根据示波器截图中的光标读数，时间差约为 $Delta X = 96 "μs"$。据此估计，零状态响应对应的实测时间常数约为 $tau_1 = 96 "μs"$，零输入响应对应的实测时间常数约为 $tau_2 = 96 "μs"$。
+
+相对误差计算公式为
+
+$
+delta = abs((tau_"测"-tau_"理")/tau_"理") times 100%
+$
+
+#report-table(
+  columns: (1fr, 1fr),
+  table.header([项目], [测量结果]),
+  [充电过程], [$tau_1 = 96 "μs"$], 
+  [放电过程], [$tau_2 = 96 "μs"$], 
+)
+
+= 5. 分析和结论
+
+通过实验可以观察到，一阶 RC 电路在方波激励下，电容两端电压呈指数规律变化。方波上升沿相当于对电路施加正阶跃激励，电容进入充电过程，表现为零状态响应；方波下降沿相当于负阶跃激励，电容进入放电过程，表现为零输入响应。
+
+从示波器截图读取的结果看，实测时间常数约为 $96 "μs"$，与理论值 $tau = 100 "μs"$ 相比误差约为 $4%$，说明实验测量结果与理论分析基本一致。剩余误差可能来自元件参数偏差、信号源内阻、示波器光标读数位置以及人工读数误差等因素。
+
+#pagebreak()
+
+#align(center)[
+  #text(size: 20pt, weight: "bold")[实验报告二：RC 微分电路与积分电路]
+]
+
+= 1. 实验原理
+
+积分电路与微分电路是有着广泛应用的两种电路，它们不仅可以实现基本的积分运算和微分运算，还可以实现波形的变换。
+
+当输入为周期性脉冲信号（方波）时，输出信号 $u_o$ 为输入信号 $u_i$ 的积分，因此称该电路为积分电路。该电路中，时间常数 $tau = R C$ 应远大于输入信号的周期，通常满足
+
+$
+tau = R C >> T / 2
+$
+
+当输入为周期性脉冲信号（方波）时，输出信号 $u_o$ 为输入信号 $u_i$ 的微分，因此称该电路为微分电路。该电路中，时间常数 $tau = R C$ 应远小于输入信号的周期，通常满足
+
+$
+tau = R C << T / 2
+$
+
+利用示波器观察微分电路和积分电路的输入、输出波形，可以分析电路参数 $R$、$C$ 和输入信号频率对输出波形的影响。
+
+= 2. 实验方案与具体步骤
+
+实验采用 RC 积分电路和 RC 微分电路分别对方波信号进行波形变换，观察输出波形与理论规律是否一致。
+
+具体步骤如下：
+
++ 连接 RC 积分电路，使输出端取电容两端电压 $u_o$。
++ 设置函数信号发生器输出方波信号，幅值约为 $2 "V"$，频率初设为 $1 "kHz"$。
++ 用示波器 CH1 观察输入信号 $u_i$，CH2 观察输出信号 $u_o$。
++ 调节 $R$ 或 $C$ 的值，使电路时间常数满足 $R C >> T / 2$，观察积分输出波形。
++ 连接 RC 微分电路，使输出端取电阻两端电压 $u_o$。
++ 调节 $R$ 或 $C$ 的值，使电路时间常数满足 $R C << T / 2$，观察微分输出波形。
++ 改变输入方波频率，比较不同频率下积分和微分波形的变化。
++ 记录输入、输出波形及主要测量数据。
+
+= 3. 实验电路连接与实测数据
+
+== 3.1 RC 积分电路
+
+#fig-image(
+  "image/68462c92-fc5f-46ae-8b32-b1805dc3ba34.png",
+  height: 6cm,
+  caption: [RC 积分电路连接图],
+)
+
+积分电路中，电阻 $R$ 与电容 $C$ 串联，输出端取电容两端电压。当电路时间常数 $R C$ 远大于输入信号半周期时，电容充放电较慢，输出波形接近三角波。
+
+#fig-image(
+  "image/bf720993e76031df1172e7ac9c12e8cc.jpg",
+  height: 7cm,
+  caption: [积分电路输入 $u_i$ 与输出 $u_o$ 波形],
+)
+
+== 3.2 RC 微分电路
+
+#fig-image(
+  "image/0b9c1205-2ec9-4d35-95f1-39549d3f1fd3.png",
+  height: 6.2cm,
+  caption: [RC 微分电路连接图],
+)
+
+微分电路中，电容 $C$ 与电阻 $R$ 串联，输出端取电阻两端电压。当电路时间常数 $R C$ 远小于输入信号半周期时，在方波跳变沿处输出尖脉冲波形。
+#v(.6em)
+#fig-image(
+  "image/3fbe65eda59e0cbac57b8f5d6275974d.jpg",
+  height: 7cm,
+  caption: [微分电路输入 $u_i$ 与输出 $u_o$ 波形],
+)
+
+= 4. 实验数据与结果
+
+== 4.1 积分电路结果
+
+当 $R C > T / 2$ 时，实验观察到积分电路的输出波形由方波变为近似三角波。由示波器截图可见，输入信号频率约为 $1 "kHz"$，即半周期约为 $0.5 "ms"$；输出波形在每个半周期内近似线性升降，基本符合积分电路特性。
+
+#fig-image(
+  "image/2d05e1fa-1c52-4a19-866a-6e500d5fde0f.png",
+  height: 7cm,
+  caption: [积分电路形],
+)
+
+== 4.2 微分电路结果
+
+当 $R C << T / 2$ 时，实验观察到微分电路在输入方波的上升沿输出正尖脉冲，在下降沿输出负尖脉冲。其余时间输出电压迅速衰减接近零，说明电路对输入信号的突变部分敏感。
+
+#fig-image(
+  "image/61b03717-5ce4-4260-a7bb-2fd6f5787cfa.png",
+  height: 5.5cm,
+  caption: [微分电路理论输出波形],
+)
+
+
+= 5. 分析和结论
+
+RC 积分电路和微分电路本质上都是由一阶 RC 暂态过程形成的波形变换电路。积分电路要求时间常数远大于输入信号半周期，使电容电压变化缓慢，输出波形表现为对输入方波的积分效果；微分电路要求时间常数远小于输入信号半周期，使输出只在输入信号突变瞬间产生明显变化，表现为尖脉冲波形。
+
+实验结果表明，改变 $R$、$C$ 或输入频率都会改变 $R C$ 与 $T / 2$ 的相对关系，从而影响输出波形。本实验中积分电路取 $R = 10 "kΩ"$、$C = 0.1 "μF"$，故 $R C = 1 "ms"$，大于输入信号半周期 $0.5 "ms"$，输出波形接近三角波，表现出较明显的积分特性；微分电路取 $R = 1 "kΩ"$、$C = 0.01 "μF"$，故 $R C = 10 "μs"$，远小于输入信号半周期，输出波形为正、负尖脉冲。实验误差主要来源于元件参数误差、示波器读数误差、信号源输出内阻以及导线连接接触不良等因素。