285 lines
9.3 KiB
Typst
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9.3 KiB
Typst
#set page(
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paper: "a4",
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image(third-path, width: 100%, height: height, fit: "contain"),
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#let report-table(..args) = table(
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inset: 6pt,
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align: center + horizon,
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..args,
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)
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#align(center)[
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#text(size: 20pt, weight: "bold")[实验报告四：RLC 串联谐振电路的研究]
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]
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= 一、实验原理
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含有电感 $L$ 和电容 $C$ 的一端口正弦稳态电路，在特定条件下会出现端口电压与电流同相的现象，称为电路谐振。RLC 串联电路的总阻抗为
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$
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Z = R + j(omega L - 1 / (omega C))
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$
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当感抗与容抗相等，即
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$
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omega_0 L = 1 / (omega_0 C)
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$
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时，电路发生串联谐振。此时谐振角频率和谐振频率为
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$
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omega_0 = 1 / sqrt(L C), quad f_0 = 1 / (2 pi sqrt(L C))
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$
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串联谐振时电路总阻抗最小，且近似等于电阻 $R$，因此回路电流达到最大，输入电压与电流同相。谐振时电感电压与电容电压大小接近、相位相反，二者在回路中相互抵消；若品质因数较大，电感或电容两端可能出现明显的电压放大现象。
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品质因数可用谐振时电感或电容两端电压与输入电压的比值估算：
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$
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Q approx U_L / U_i approx U_C / U_i
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$
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品质因数越大，电流-频率曲线越尖锐，电路选择性越好；品质因数越小，曲线越平缓，通频带越宽。
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#fig-image(
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"image/RLC_series_circuit_report.svg",
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height: 5cm,
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caption: [RLC 串联电路图],
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)
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#fig-image(
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"image/image2.png",
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height: 5.2cm,
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caption: [RLC 串联电路谐振特性示意图],
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)
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= 二、实验设备与器材
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实验使用电工综合实验平台、数字信号发生器、数字示波器以及实验平台上的电阻、电感、电容模块。
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= 三、实验一：RLC 串联谐振电路设计与实现
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== 1. 实验任务
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选取合适的电阻、电感和电容设计 RLC 串联电路，输入相应频率的正弦信号，观察电路谐振现象，测量谐振时 $R$、$L$、$C$ 元件的电压有效值，并分析品质因数 $Q$。
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== 2. 实验方案与具体步骤
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+ 按 RLC 串联电路连接实验线路，取 $L = 30 "mH"$、$C = 0.01 "μF"$。
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+ 先接入 $R = 510 "Ω"$，信号源输出正弦信号，输入电压取 $U_i = 3 "V"$。
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+ 用示波器观察输入电压和电阻两端电压，缓慢调节信号源频率。
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+ 当输入电压与电阻电压同相，并且电阻电压达到较大值时，认为电路达到串联谐振。
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+ 记录谐振频率，并分别测量 $U_R$、$U_L$、$U_C$。
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+ 将电阻更换为 $R = 1 "kΩ"$，重复上述测量。
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||
+ 根据 $U_L / U_i$ 与 $U_C / U_i$ 计算品质因数，并与理论估算值比较。
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== 3. 实验电路连接与实测数据
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实验电路由信号源、RLC 串联支路和双通道示波器组成。电阻电压 $u_R$ 与回路电流同相，因此可通过观察 $u_i$ 与 $u_R$ 的相位关系判断是否达到谐振。
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#fig-image(
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"image/image.png",
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height: 6cm,
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caption: [实验一 RLC 串联电路连接实物图],
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)
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本实验参数为 $U_i = 3 "V"$，$L = 30 "mH"$，$C = 0.01 "μF"$。理论谐振频率为
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$
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f_0 = 1 / (2 pi sqrt(L C)) approx 9189 "Hz" approx 9.19 "kHz"
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$
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示波器在谐振频率附近的读数如下。两次读数得到的频率分别为 $9.20 "kHz"$ 和 $9.15 "kHz"$，均接近理论谐振频率。
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#fig-two-images(
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"image/8da4c9d6-b50e-4e34-9319-ee2b9f644477.png",
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||
"image/13aaa883-763a-4301-944c-d8c721ecc13c.png",
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||
height: 6.1cm,
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||
caption: [谐振频率附近输入电压与电阻电压波形],
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||
)
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== 4. 实验数据与结果
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#figure(
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||
text(size: 8.5pt)[
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#report-table(
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||
columns: (1fr, 0.9fr, 0.9fr, 0.9fr, 0.9fr, 0.9fr, 0.9fr, 0.9fr, 0.9fr, 0.9fr, 0.9fr),
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||
table.header(
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[电阻],
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[$f_0$ 估算 / Hz],
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[$f_0$ 测量 / Hz],
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[$U_R$ 估算 / V],
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[$U_R$ 测量 / V],
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[$U_L$ 估算 / V],
|
||
[$U_L$ 测量 / V],
|
||
[$U_C$ 估算 / V],
|
||
[$U_C$ 测量 / V],
|
||
[$Q$ 估算],
|
||
[$Q$ 测量],
|
||
),
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||
[$R=510 "Ω"$], [9189], [9200], [3.00], [2.96], [10.20], [9.93], [10.20], [9.87], [3.40], [3.30],
|
||
[$R=1 "kΩ"$], [9189], [9150], [3.00], [2.94], [5.20], [5.08], [5.20], [5.00], [1.73], [1.68],
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||
)
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||
],
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||
caption: [不同电阻下 RLC 串联谐振电路特征参数],
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)
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对 $R = 510 "Ω"$：
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$
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Q_L = U_L / U_i = 9.93 / 3 approx 3.31
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$
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||
$
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Q_C = U_C / U_i = 9.87 / 3 approx 3.29
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$
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取平均得 $Q approx 3.30$。
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|
||
对 $R = 1 "kΩ"$：
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||
$
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||
Q_L = U_L / U_i = 5.08 / 3 approx 1.69
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$
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|
||
$
|
||
Q_C = U_C / U_i = 5.00 / 3 approx 1.67
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$
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||
|
||
取平均得 $Q approx 1.68$。
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== 5. 分析和结论
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实验一中，$R = 510 "Ω"$ 时测得谐振频率约为 $9200 "Hz"$，$R = 1 "kΩ"$ 时测得谐振频率约为 $9150 "Hz"$，均与理论值 $9189 "Hz"$ 接近，说明所选 $L$、$C$ 参数能够形成预期的串联谐振。谐振时电阻电压接近输入电压，电感和电容两端电压明显大于输入电压，且二者数值接近，符合串联谐振时电感、电容电压相互抵消而回路电流较大的特点。
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从品质因数看，电阻由 $510 "Ω"$ 增大到 $1 "kΩ"$ 后，$Q$ 由约 $3.30$ 降为约 $1.68$，电感和电容上的谐振电压也随之降低。这说明串联电阻增大会削弱电压谐振现象，并降低电路的选择性。
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= 四、实验二：测量电路的谐振特性曲线
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== 1. 实验任务
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保持实验电路不变，改变信号源频率，记录电路电流随频率变化的数据，并绘制 $I-f$ 谐振特性曲线。
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== 2. 实验方案与具体步骤
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+ 保持 $R = 510 "Ω"$、$L = 30 "mH"$、$C = 0.01 "μF"$ 的 RLC 串联电路不变。
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+ 保持输入电压幅值 $U_i = 3 "V"$ 不变，逐步改变信号源频率。
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+ 对每个频率点，根据串联阻抗计算电流估算值：
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+ 在谐振频率 $9.19 "kHz"$ 附近加密取点，绘制电流随频率变化的曲线。
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== 3. 数据与曲线
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#fig-two-images(
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"image/image0.png",
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"image/image1.png",
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height: 5.2cm,
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||
caption: [实验二谐振特性曲线测量电路连接实物图],
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)
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#figure(
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||
text(size: 9pt)[
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#report-table(
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||
columns: (1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr),
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||
table.header([频率 / Hz], [3200], [5200], [7200], [9200], [11200]),
|
||
[电流 / mA], [0.682], [1.400], [3.018], [5.882], [3.496],
|
||
[频率 / Hz], [4200], [6200], [8200], [10200], [13200],
|
||
[电流 / mA], [0.987], [2.016], [4.649], [4.795], [2.174],
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||
)
|
||
],
|
||
caption: [按本实验参数计算得到的电流-频率估算数据],
|
||
)
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#fig-image(
|
||
"image/rlc_if_curve.svg",
|
||
height: 6.2cm,
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||
caption: [按本实验参数绘制的 RLC 串联谐振特性曲线],
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)
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== 4. 分析和结论
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由曲线可见，电流在谐振频率附近达到最大值。低于谐振频率时，电容容抗较大，回路阻抗较大，电流较小；高于谐振频率时，电感感抗逐渐增大，回路阻抗也增大，电流重新减小。因此 RLC 串联电路呈现典型的带通特性。实验一中实测谐振频率约为 $9.20 "kHz"$，与曲线峰值所在频率一致。
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= 五、思考题
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PDF 中思考题电路为 $L = 10 "mH"$、$C = 1 "μF"$、$R = 100 "Ω"$ 的串联 RLC 电路，其中 $u_2$ 的频率为约 $1590 "Hz"$，接近
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f_0 = 1 / (2 pi sqrt(L C)) approx 1592 "Hz"
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因此 $u_2$ 对电阻电压 $u_R$ 的贡献较大。若改变 $u_1$ 的频率为 $10 "kHz"$、$50 "kHz"$、$100 "kHz"$、$200 "kHz"$，这些频率均远高于谐振频率，频率越高时电感感抗 $X_L = 2 pi f L$ 越大，串联总阻抗越大，$u_1$ 在电阻 $R$ 上形成的电压分量越小。因此随着 $f_1$ 从 $10 "kHz"$ 增大到 $200 "kHz"$，由 $u_1$ 引起的 $u_R$ 分量逐渐减小，电阻电压主要由接近谐振频率的 $u_2$ 分量决定。
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= 六、误差分析与总结
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实验误差主要可能来自元件标称值与实际值的偏差、电感线圈内阻、电容等效串联电阻、信号源内阻分压、示波器光标读数误差以及调节谐振频率时的人工判断误差。总体来看，谐振频率、谐振电压和品质因数的测量结果能够支持 RLC 串联谐振理论。
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